Question

（2012•鄂州）某私營服裝廠根據2011年市場分析，決定2012年調整服裝制作方案，準備每周（按120工時計算）制作西服、休閑服、襯衣共360件，且襯衣至少60件．已知每件服裝的收入和所需工時如下表：

服裝名稱	西服	休閑服	襯衣
工時/件	1 2	1 3	1 4
收入（百元）/件	3	2	1

設每周制作西服x件，休閑服y件，襯衣z件．
（1）請你分別從件數和工時數兩個方面用含有x，y的代數式表示襯衣的件數z．
（2）求y與x之間的函數關系式．
（3）問每周制作西服、休閑服、襯衣各多少件時，才能使總收入最高？最高總收入是多少？

Answer 1

分析：（1）根據制作西服、休閑服、襯衣共360件，即可列出第一個式子，根據制作西服每件

1

2

工時，休閑服每件需

1

3

工時，襯衣每件需

1

4

工時，即可列出第二個式子；
（2）根據題意得出方程組x+y+z=360和

1

2

x+

1

3

y+

1

4

z=120，用消元法把z消去，即可得出y與x的函數關系式；
（3）根據制作一件西服收入3百元，制作一件休閑服收入2百元，制作一件襯衣收入1百元，得出a=3x+2y+1×z，把y=360-3x代入求出即可．

解答：（1）解：含有x，y的代數式表示襯衣的件數z為：①z=360-x-y，②z=（120-

1

2

x-

1

3

y）÷

1

4

，即z=480-2x-

4

3

y；

（2）解：根據題意得：

x+y+z=360① 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=120②

，
∵①×3得：3x+3y+3z=1080③，
②×12得：6x+4y+3z=1440④，
④-③得：3x+y=360
即y=360-3x，
∴y與x之間的函數關系式是y=360-3x；

（3）解：設總收入是a百元，
則a=3x+2y+1×z=3x+2（360-3x）+1×（120-

1

2

x-

1

3

y）÷

1

4

，
把y=360-3x代入后整理得：
a=720-x，
∵k=-1＜0，a隨x的增大而減少，
∴當x取最小值時，a的值最大，
由題意得：

x≥0 y=360-3x≥0 z=360-x-y≥0 z≥60

，
解得：120≥x≥30，
即x的最小值時30，
當x=30時，y=360-3x=270，z=360-30-270=60，
最高總收入是：a=720-30=690，
答：每周制作西服、休閑服、襯衣分別制30件、270件、60件時，才能使總收入最高，最高總收入是690百元．

點評：本題考查了一次函數的應用，解此題的關鍵是能把語言轉化成數學式子來表達，題目比較好，但有一定的難度．