Question

2．如果x的一元二次方程kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1=0有兩個不相等的實數根
（1）求k的取值范圍；
（2）若x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=9，求實數k的值；
（3）若拋物線y=kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1（k≠-$\frac{3}{8}$）過點（4，-7），若P（a，y₁）、Q（1，y₂）是此拋物線上的兩點，且y₁＞y₂，請結合函數圖象確定實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于關于x的一元二次方kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1=0有兩個不相等的實數根，所以k≠0且△=b²-4ac＞0，建立關于k的不等式組，解得k的取值范圍即可；
（2）根據根與系數的關系得到方程（$\frac{\sqrt{2k+1}}{k}$）²-2•$\frac{1}{k}$=9，即可得到結論；
（3）由題意得：-7=16k-4$\sqrt{2k+1}+1$，$\sqrt{2k+1}=4k+2$，求得k₁=-$\frac{3}{8}$，k₂=-$\frac{1}{2}$，由k≠-$\frac{3}{8}$，得到k=-$\frac{1}{2}$，即可得到拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+1，根據二次函數的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵x的一元二次方程kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1有兩個不相等的實數根，
∴△=（-$\sqrt{2k+1}$）²-4k≥0，且k≠0，
解得：-$\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且k≠0；

（2）∵x₁²+x₂²=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
∴（$\frac{\sqrt{2k+1}}{k}$）²-2•$\frac{1}{k}$=9，
解得：k=±3；

（3）由題意得：-7=16k-4$\sqrt{2k+1}+1$，$\sqrt{2k+1}=4k+2$，
∴2k+1=16k²+16k+4，
解得：k₁=-$\frac{3}{8}$，k₂=-$\frac{1}{2}$，
∵k≠-$\frac{3}{8}$，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+1，
如圖，由圖象可知，當y₁＞y₂，-1＜a＜1．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．
總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根