Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，E是邊BC上的一動點，連結DE交AC于點F，連結BF.

(1)求證：FB=FD；

(2)如圖2，連結CD，點H在線段BE上（不含端點），且BH=CE，連結AH交BF于點N.

①判斷AH與BF的位置關系，并證明你的結論；

②連接CN．若AB=2，請直接寫出線段CN長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AH⊥BF，見解析；②.

【解析】

（1）證明△FAD≌△FAB（SAS）即可解決問題．

（2）①首先證明四邊形ABCD是正方形，再證明∠BAH=∠CBF即可解決問題．

②如圖3中，取AB的中點O，連接ON，OC．理由三角形的三邊關系解決問題即可．

（1）證明：如圖1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∵線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AD，

∴∠BAD=90°，BA=AD，

∴∠FAD=∠FAB=45°，

∵AF=AF，

∴△FAD≌△FAB（SAS），

∴BF=DF．

（2）①解：結論：AH⊥BF．

理由：如圖2中，連接CD．

∵∠ABC+∠BAD=180°，

∴AD∥BC，

∵AD=AB=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵AB=BC，

∴四邊形ABCD是正方形，

∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，

∴△ABH≌△DCE（SAS），

∴∠BAH=∠CDE，

∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，

∴△CFD≌△CFB（SAS），

∴∠CDF=∠CBF，

∴∠BAH=∠CBF，

∵∠CBF+∠ABF=90°，

∴∠BAH+∠ABF=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AH⊥BF．

②如圖3中，取AB的中點O，連接ON，OC．

∵∠ANB=90°，AO=OB，

∴ON=AB=1，

在Rt△OBC中，OC=，

∵CN≥OC-ON，

∴CN≥-1，

∴CN的最小值為-1．