Question

【題目】如圖，在中，，，，點P是射線BA上的一個動點，以BP為半徑的交射線BC于點D，直線PD交直線AC于點E，點P關于直線AC的對稱點為點，連結，，設直線與直線BC交于點F．

當點P在線段BA上時，

求證：；

連結，當時，求的長；

連結AD，AF，當恰為等邊三角形時，求此時四邊形的面積；

當四邊形在內部時，請直接寫出BP的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明見解析；②．（2）①．②．（3）．

【解析】

欲證明，利用等角的余角相等證明即可；如圖2中，作于H，連接交AC于點設，則易知，根據，可得，推出，由，可得，由此即可解決問題；

分兩種情形分別求解即可：如圖3中，當點D在BC上時如圖4中，當點D在BC的延長線上時，分別求解即可；

如圖4中，當點在上時，設則，構建方程求出m的值即可解決問題.

證明：如圖1中，

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，，

，

，

，

．

如圖2中，作于H，連接交AC于點設，則．

在中，，，，

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，

，

，

，

，，

，

，

四邊形是菱形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

如圖3中，當點D在BC上時，連接AD，AF，作于H，連接交AC于點J．

是等邊三角形，，，

，

，，

，

四邊形PJCH是矩形，

，

，

．

如圖4中，當點D在BC的延長線上時，連接AD，AF，當是等邊三角形時，作于H，連接交AC于點J．

同法可得：，，

．

如圖4中，當點在上時，設則

，

，

，

，

，

觀察圖象可知：當四邊形在內部時，BP的取值范圍為．