Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點M在直線L：上．

求直線L的函數表達式；

現將拋物線沿該直線L方向進行平移，平移后的拋物線的頂點為N，與x軸的右交點為C，連接NC，當時，求平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；(2).

【解析】

由題目已給出的拋物線一般式直接化為頂點式即可讀出頂點坐標，把頂點坐標代入直線L的解析式即可求出斜率，進而寫出直線L的解析式；

在直線L上取一點N，過N作軸于點E，構造即，使得，則，設平移后的二次函數的頂點式為，則N點坐標為，由得，，則C點坐標可以表示為，又由N在直線L上，所以將N代入得，，即平移后二次函數的頂點式可以為，把代入其中，即可求出h’=3或 h’=-1，因為當對稱軸在y軸左側時拋物線與x軸無交點，與題意有又交點C不相符，則h’=-1應舍去，進而求得將h’和k’代入平移后二次函數的頂點式，再化為一般式即可．

解：拋物線

所以，

點的坐標為

又在直線L上

把代入中得，

解得，

直線L的解析式為，

如圖，設N(h′，k′)，過N作軸于點E，連接NC．

由得，，即．

點坐標為(h′-k′，0)

又點N(h′，k′)在直線L上

把N(h′，k′)，代入得，k′=-2h′-2

設平移后的拋物線頂點式為y=(x-h′)2+k′,

則把k′=-2h′-2代入上式得，y=(x-h′)2-2h′-2

且h′-k′=h′-(-2h′-2)=2h′+1

∴C（2h′+1，0）

把C（2h′+1，0）代入y=(x-h′)2-2h′-2得，

整理得，

解得， h’=3或 h’=-1，

又當對稱軸在y軸左邊時拋物線與x軸無交點，這與題目已知條件“與x軸的右交點為C相矛盾

∴h′=3,

k′=-2×3-2=-8

點坐標為

平移后拋物線頂點式為，

展開得，