Question

【題目】閱讀材料，并完成相應任務.

2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要、基本，還因為這個定理貼近人們的生活實際，所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現.

下面的圖形是傳說中畢達哥拉斯的證明圖形：

證明：①在圖1中，∵

4個直角三角形的面積+兩個正方形的面積

=4× + + .

②在圖2中，∵

4個直角三角形的面積+正方形的面積

=4× + .

∴4× + + =4× + .

整理得：

∴ .

任務：（1）將材料中的空缺部分補充完整；

（2）如圖3，在△ABC中，∠A=60°,∠ACB=75°，CD⊥AB，AC=4，求BC的長.

Answer 1

【答案】（1） ，，，；（2）BC=

【解析】

（1）根據圖形的特點及完全平方公式即可驗證勾股定理；

（2）根據直角三角形中的特殊角與勾股定理即可求解.

（1）①在圖1中，∵

4個直角三角形的面積+兩個正方形的面積

=4×++.

②在圖2中，∵

4個直角三角形的面積+正方形的面積

=4×+.

∴4×++ =4×+ .

整理得：

∴ .

故填：，，，

（2）∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠BDC=90°

∵∠A=60°

∴∠ACD=30°

∵AC=4

∴AD=2

在Rt△ACD中

CD=

又∵∠ACB=75°

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°

∴∠B=45°

∴ BD=CD=

在Rt△BCD中

BC=