Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F連接AE、DE、DF．

(1)證明：∠E=∠C；

(2)若∠E=58°，求∠BDF的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)∠BDF=116°.

【解析】

(1)連接AD，已知AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角即可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；由CD=BD可得AD垂直平分BC，根據線段垂直平分線的性質可得AB=AC，所以∠B=∠C；根據同弧所對的圓周角相等可得∠B=∠E，由此即可證得∠E=∠C；（2）已知四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，根據圓內接四邊形對角互補可得∠AFD=180°﹣∠E，由鄰補角的定義可得∠CFD=180°﹣∠AFD，從而求得∠CFD=∠E=58°，再由∠BDF=∠C+∠CFD即可求得∠BDF的度數.

(1)連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

(2)∵四邊形AEDF是⊙O的內接四邊形，

∴∠AFD=180°﹣∠E，

又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，

∴∠CFD=∠E=58°，

又∵∠E=∠C=58°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=116°.