Question

畫圖、證明：如圖，∠AOB=90°，點C、D分別在OA、OB上．
（1）尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接OE、CF、DF．
（2）在所畫圖中，
①線段OE與CD之間有怎樣的數量關系：______．
②求證：△CDF為等腰直角三角形．

Answer 1

（1）根據題意要求：畫∠AOB的平分線OP，作線段CD的垂直平分線EF；

（2）①OE=

1

2

CD．（4分）
②方法一：∵EF是線段CD的垂直平分線，
∴FC=FD，（5）
∵△COD為直角三角形，E為CD的中點，
∴OE=CE=

1

2

CD，
∴∠COE=∠ECO．
設CD與OP相交于點G，
∵∠EOF=45°-∠COE，
∠EFO=90°-∠EGF=90°-（45°+∠ECO）=45°-∠ECO，
∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．（6分）
又CE=OE=EF，∠CEF=90°，
∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°；
∴∠CFD=90°，△CDF為等腰直角三角形．（7分）

方法二：過點F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分別為M、N．（5分）
∵OP是∠AOB的平分線，
∴FM=FN．
又EF是CD的垂直平分線，
∴FC=FD．
∴Rt△CFM≌Rt△DFN（HL），∠CFM=∠DFN．（6分）
在四邊形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，
∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形．（7分）