Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，交AB延長線于點F．

（1）求證：BD=CD；

（2）求證：DC2=CEAC；

（3）當AC=5，BC=6時，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DF=．

【解析】

（1）先判斷出AD⊥BC，即可得出結論；

（2）先判斷出OD∥AC，進而判斷出∠CED=∠ODE，判斷出△CDE∽△CAD，即可得出結論；

（3）先求出OD，再求出CD=3，進而求出CE，AE，DE，再判斷出，即可得出結論．

（1）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD；

（2）連接OD，

∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE=90°，

由（1）知，BD=CD，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∴∠CED=∠ODE=90°=∠ADC，

∵∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴，

∴CD2=CEAC；

（3）∵AB=AC=5，

由（1）知，∠ADB=90°，OA=OB，

∴OD=AB=，

由（1）知，CD=BC=3，

由（2）知，CD2=CEAC，

∵AC=5，

∴CE=，

∴AE=AC-CE=5-=，

在Rt△CDE中，根據勾股定理得，DE=,

由（2）知，OD∥AC，

∴，

∴，

∴DF=．