Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸從左至右交于，兩點，與軸交于點．

若拋物線過點，求拋物線的解析式；

在第二象限內的拋物線上是否存在點，使得以、、三點為頂點的三角形與相似？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

如圖，在的條件下，點的坐標為，點是拋物線上的點，在軸上，從左至右有、兩點，且，問在軸上移動到何處時，四邊形的周長最小？請直接寫出符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）將T點坐標代入函數解析式中即可求解a值；

（2）觀察圖1可知，∠ACB為鈍角，則△ABD中只有∠DAB為鈍角，故按照三角形相似的對應關系得∠DAB與∠ACB相對應，則可分下述兩種對應情況分類討論：①△DAB∽△BCA；②△DAB∽△ACB.兩種情況下分別根據相似列出比例式進行求解；

（3）先代入Q點坐標求解t值，從而可求解出Q（6,10）.由于四邊形PQNM四邊中，PQ和MN長度均已固定，因此只需要尋找PM+QN的最小值即可. 作關于軸的對稱點，過作軸，且，連接交軸于，過作，交軸于，則QG就是PM+QN的最小值.

解：如圖，把代入拋物線得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

當時，，

∴，

當時，，

，，

∴、，

如圖，過作軸于，

設，

∵點在第二象限，為鈍角，

∴分兩種情況：

①如圖，當時，，

∴，即，

∴，

，

則，

解得：或，

∴，

由勾股定理得：，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

即

，

解得：，此方程無解；

②當時，如圖，，

∵，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

有，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

則，

解得：，

則；

當時，，

∴，

如圖，作關于軸的對稱點，過作軸，且，連接交軸于，過作，交軸于，

此時，就是的最小值，由于、為定值，所以此時，四邊形的周長最小，

∵，

∴，

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，，

∴，

設的解析式為：，

把和代入得：，

解得：，

∴的解析式為：，

當時，，

∴，

∵，

∴．