Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，點F在線段AB上，以點B為圓心，BF為半徑的圓交BC于點E，射線AE交圓B于點D（點D、E不重合）．

（1）如果設BF = x，EF = y，求y與x之間的函數關系式，并寫出它的定義域；

（2）如果，求ED的長；

（3）聯結CD、BD，請判斷四邊形ABDC是否為直角梯形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0＜x＜8）；（2）ED=；（3）四邊形ABDC不可能為直角梯形．

【解析】試題分析：（1）在Rt△ABC中由勾股定理得到AB=10．過E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH= ，BH= ，FH= ．在Rt△EHF中，由勾股定理即可得到結論；

（2）取弧ED的中點P，聯結BP交ED于點G．由 ，P是弧ED的中點，得到弧EP=弧EF=弧PD，進而得到∠FBE =∠EBP =∠PBD．由垂徑定理得BG⊥ED，ED =2EG =2DG．易證△BEH≌△BEG，得到EH=EG=GD= ．解Rt△CEA得到CE，BE的長，從而得到結論．

（3）四邊形ABDC不可能為直角梯形．分兩種情況討論：①當CD∥AB時，如果四邊形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．由，即可得到結論．

②當AC∥BD時，如果四邊形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．由∠ABD＞ 90o．即可得到結論．

試題解析：解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB=10．

過E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH= ，BH= ，FH= ．

在Rt△EHF中， ，∴（0＜x＜8）．

（2）取弧ED的中點P，聯結BP交ED于點G．

∵ ，P是弧ED的中點，∴弧EP=弧EF=弧PD，∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．

∵弧EP=弧EF ，BP過圓心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．

又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．

又∵BE是公共邊，∴△BEH≌△BEG，∴EH=EG=GD= ．

在Rt△CEA中，∵AC = 6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=ACtan∠CAE==，∴BE==，∴ED=2EG= ==．

（3）四邊形ABDC不可能為直角梯形．

①當CD∥AB時，如果四邊形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．

在Rt△CBD中，∵BC=8，∴CDcos∠BCD=，BD=BCsin∠BCD= =BE，∴， ，∴，∴CD不平行于AB，與CD∥AB矛盾，∴四邊形ABDC不可能為直角梯形．

②當AC∥BD時，如果四邊形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．

∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o，∴∠ABD =∠ACB +∠BCD ＞ 90o．

與∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．

∴四邊形ABDC不可能為直角梯形．