Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，設(shè)交的平分線于點(diǎn)，交的外角的平分線于點(diǎn)．

（1）探究與的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

（2）連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形可能為菱形嗎？若可能，請(qǐng)證明；若不可能，請(qǐng)說明理由．

（3）連接，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說明理由．

（4）在（3）的條件下，滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）四邊形不可能為菱形，理由見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，理由見解析；（4）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，且是以為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)可得，再根據(jù)平分，平分記得得出答案；

（2）根據(jù)平分，平分可得∠ECF的度數(shù)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）先證四邊形是平行四邊形，繼而可證其是矩形；

（4）結(jié)合（3），再根據(jù)，和即可得出結(jié)論.

解：（1）．

證明：∵，

∴．

又∵平分，平分，

∴，

∴，

∴．

∴．

（2）四邊形不可能為菱形．

理由：設(shè)交于點(diǎn)．

∵平分，平分，

∴．

若四邊形是菱形，則，在中，不可能存在兩個(gè)角為90°，

∴四邊形BCFE不可能為菱形．

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形.理由：

∵當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，．

又∵，

∴四邊形是平行四邊形．

∵，

∴，

∴，

即，四邊形是矩形.

（4）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，且是以為直角的直角三角形時(shí)，

四邊形是正方形理由：

由（3）知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，

已知，當(dāng)時(shí)，

，

∴，

∴四邊形是正方形．