Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=4，∠BAC=30°，AC交⊙O于D，D是AC的中點．
（1）過點D作DE⊥BC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）求 與線段DE、BE圍成的陰影面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵D是AC的中點，O是AB的中點，

∴DO是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，則∠EDO=∠CED

又∵DE⊥BC，

∴∠CED=90°，

∴∠EDO=∠CED=90°

∴OD⊥DE

∴DE是⊙O的切線，

（2）連接BD

∵AB是直徑

∴∠ADB=90°

∵∠BAC=30°，AB=4

∴∠BOD=2∠ABD=60°

∵OB=OD

∴△OBD是等邊三角形

∴∠ODB=∠BOD=60°，OB=OD=BD=2

∵∠EDO=90°

∴∠BDE=30°

∴在Rt△BDE中 BE=1，DE=

∴S陰=S四邊形ODEB﹣S扇形OBD= ﹣ = ﹣

答：陰影面積為 ﹣

【解析】（1）連接OD，易證DO是△ABC的中位線，從而可知OD∥BC，所以∠EDO=∠CED，由于DE⊥BC，從而可知DE是⊙O的切線；（2）連接BD，分別求出四邊形OBED與扇形OBD的面積，然后即可求出陰影部分面積．