Question

【題目】解答題
（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．求證：CE=CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用（1）的結論證明：GE=BE+GD．
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題： 如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴∠B=∠FDC，

∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴GE=GF，

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．

（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠B=90°，

又∵∠CGA=90°，AB=BC，

∴四邊形ABCG為正方形．

∴AG=BC．

∵∠DCE=45°，

根據（1）（2）可知，ED=BE+DG．

∴10=4+DG，

即DG=6．

設AB=x，則AE=x﹣4，AD=x﹣6，

在Rt△AED中，

∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．

解這個方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．

∴AB=12．

∴S梯形ABCD= （AD+BC）AB= ×（6+12）×12=108．

即梯形ABCD的面積為108．

【解析】（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；（2）首先延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，繼而可得GE=BE+GD；（3）首先過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長，設AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2 ， 可得方程，解方程即可求得AB的長，繼而求得直角梯形ABCD的面積．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．