Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，則∠C＝　 　．

（2）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求對角線AC的長．

（3）已知：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），點D在y軸上，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）過點A、D，且當(dāng)﹣2≤x≤2時，函數(shù)y＝ax2+bx+c取最大值為3，求二次項系數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）115°；（2）AC的長為或；（3）a＝﹣或﹣1﹣

【解析】

（1）∠B=∠D=85°，則∠C=360°-2×85°-75°=115°，即可求解；

（2）①如圖1，AE=8，DE=5，可求出，則AC可求出；②如圖2，同理可得BC=BF+CF，則由勾股定理可求出AC的長；

（3）由條件可得出∠ADC=∠ABC=90°，求得D（0，2），代入A，D兩點的坐標(biāo)，可求出拋物線的解析式為y=ax2+（2a+1）x+2，分兩種情況考慮：在x=2時，函數(shù)y=ax2+（2a+1）x+2取得最大值為3，可求得，當(dāng)-2≤x≤2時，在頂點處取得最大值，可求出

解：（1）∠B＝∠D＝85°，則∠C＝360°﹣2×85°﹣75°＝115°，

故答案為115°；

（2）①如圖1，∠B＝∠D＝90°時，延長AD，BC交于點E，

∵∠DAB＝60°，

∴∠E＝30°，

又∵AB＝4，AD＝3

∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，

∴，

∴BC＝BE﹣CE＝4﹣，

∴＝＝，

②如圖，∠A＝∠C＝60°時，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于點F，

∵∠DAB＝∠BCD＝60°，

又∵AB＝4，AD＝3，

∴，DE＝BF＝，

∴，

∴，

∴BC＝CF+BF＝，

∴＝，

綜合以上可得AC的長為或．

（3）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），

∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°，

∵AD＝CD，AB≠BC，

∴∠BAD≠∠BCD，

∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴D（0，2）

∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣2，0）、D（0，2），

∴，

解得：c＝2，b＝2a+1，

∴拋物線的解析式為y＝ax2+（2a+1）x+2，

若x＝2時，函數(shù)y＝ax2+（2a+1）x+2取得最大值為3，

∴4a+4a+2+2＝3，

∴a＝﹣，

此時拋物線的對稱軸為x＝3，

∴滿足題意，

若二次函數(shù)y＝ax2+（2a+1）x+2在頂點取得最大值3，則有：

，

解得：a＝﹣1+或a＝﹣1﹣，

當(dāng)a＝﹣1+時，對稱軸在直線x＝2的右側(cè)，不合題意，舍去，

∴，

綜合以上可得a＝﹣或﹣1﹣．