Question

【題目】將拋物線向左平移2個單位，再向上平移4個單位得到一個新的拋物線．

（1）求新的拋物線的解析式．

（2）過作直線，使得直線與新的拋物線僅有一個公共點，求直線的解析式及相應公共點的坐標．

（3）請猜想在新的拋物線上是否有且僅有四個點、、、使得、、、分別與（2）中的所有公共點所圍成的圖形的面積均為S？若有，請求出S并直接寫出、、、的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）l的解析式為：y=x+2；y=3x-6，x=2；直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點A（-2,4）直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點B（6,12）直線x=2 與拋物線有唯一公共點C(2，4) ；（3）S=18,P1為（0,3），P2為（4,7），P3為（,），P4為（,）.

【解析】

（1）根據二次函數平移的特點即可求解；

（2）設直線l的解析式為：y=kx+b,把M代入，再與二次函數聯立，根據一元二次方程根的判別式即可求解；

（3）由AB、BC、AC將拋物線分為三個部分，對于任意S在AB上方的拋物線上必存在兩個P點，①當P在AC下方的拋物線上時，求出此時=2，,②當P在BC下方的拋物線上時，設P為 ，D為（t，2t），得到，利用求出S的最大值也為2，故當P點在直線AB上方時，與A,C圍成的面積也為2，故可得到P到AC的距離為1，根據直線AB的解析式特點可知將

直線AB向上平移個單位即可滿足要求，得到平移后的解析式，再聯立拋物線即可出P3,P4的坐標.

解：（1）∵

∴把函數向左平移2個單位，向上平移4個單位后拋物線的頂點為（0,3），

∴新的拋物線的解析式為，

（2）解： 設直線l的解析式為：y=kx+b,將M（2,0）代入得

∴

∴直線l為

又直線與新的拋物線僅有一個公共點，

∴只有一個解，

化簡得

∴

解得：，

當時，直線l為

由解得

∴A（-2，4）

當時，直線l為

由解得

∴B（6，12）

過點M（2,0）作直線l⊥x軸，交拋物線于C點，則直線l為x=2,

公共點C為（2,4），

綜上所述：直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點A（-2,4）

直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點B（6,12）

直線x=2 與拋物線有唯一公共點C(2，4)

（3）在新的拋物線上有且僅有四個點P1、P2、P3、P4使其分別與（2）中的所有公共點A、B、C所圍成的四邊形面積均為S.

∵AB、BC、AC將拋物線分為三個部分，對于任意S在AB上方的拋物線上必存在兩個P點.

①當P在AC下方的拋物線上時

∵AC∥x軸，

∴當P為（0,3），

②當P在BC下方的拋物線上時

設P為由待定系數法得BC:y=2x

作PD//y軸交BC于D，則D為（t，2t）

∴

∴

∵它是一個開口向下，頂點為（4，2）的拋物線

∴當P為（4，7）時，

∴

∴

此時

∵A（-2,4），B（6,12）

∴求得AB解析式為，

∵A、B兩點的橫坐標之差的絕對值為8，A、C兩點的橫坐標之差的絕對值為4，P到AC的距離為1.

∴將直線AB向上平移個單位得

l交拋物線于和兩點

由，解得，

綜上，S=18,P1為（0,3），P2為（4,7），P3為（,），P4為（,）.