Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CE是⊙O切線，C是切點，EA交弦BC于點D、交⊙O于點F，連接CF：

（1）如圖1，求證：∠ECB＝∠F+90°；

（2）如圖2，連接CD，延長BA交CE于點H，當OD⊥BC、HA＝HE時，求證：AB＝CE；

（3）如圖3，在（2）的條件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）WE＝

【解析】

（1）應用切線性質和圓周角定理即可證得結論；
（2）過點C作CG⊥EF于G，連接BF，先證明△BDF≌△CDG（AAS），再證明△ABF≌△ECG（AAS），即可得出結論；
（3）先證明△ABD≌△ECA（ASA），再證明△ACD和△DEF為等腰直角三角形，設FK=a，BF=b，則DF=b，BD=CD=AC=b，AD=AC=2b，BC=2b，由勾股定理可得：OB=b，AB=CE=b，再根據(jù)S△ADO=，建立方程可求得b=1，過點C作CT⊥AB于T，過W作WR⊥EF于R，利用勾股定理和相似三角形性質即可求得WE．

（1）證明：如圖1，連接OC，∵OB＝OC

∴∠OCB＝∠B

∵

∴∠F＝∠B

∴∠OCB＝∠F

∵CE是⊙O切線，

∴OC⊥CE

∴∠OCE＝90°

∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE

∴∠ECB＝∠F+90°；

（2）證明：如圖2，過點C作CG⊥EF于G，連接BF，則∠CGE＝∠CGD＝90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD

∵OD⊥BC

∴BD＝CD

在△BDF和△CDG中，

,

∴△BDF≌△CDG（AAS）

∴BF＝CG

∵HA＝HE

∴∠EAH＝∠E

∵∠BAF＝∠EAH

∴∠BAF＝∠E

在△ABF和△ECG中，

,

∴△ABF≌△ECG（AAS）

∴AB＝CE；

（3）如圖3，過點C作CG⊥EF于G，連接AC，OC，OF，BF，

由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E

∵OA＝OC

∴∠OCA＝∠OAC

∵AB是⊙O的直徑，CE是⊙O切線，

∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠ABC+∠OAC

∴∠ECA＝∠ABC

∴△ABD≌△ECA（ASA）

∴BD＝AC

∵BD＝CD

∴AC＝CD

∴△ACD為等腰直角三角形

∴∠ADC＝45°

∴∠EDF＝45°

∴△DEF是等腰直角三角形

設FK＝a，BF＝b，則DF＝b，BD＝CD＝AC＝b，AD＝AC＝2b，BC＝2b，

∵BD＝CD，OA＝OB

∴OD＝AC＝b，

∵∠BDO＝90°

∴OB＝＝＝b

∴AB＝CE＝

∵S△ADO＝，

∴S△BOD＝S△COD＝，S△BOC＝1

∴BCOD＝1，即×2b×b＝1

∴b＝1

∴AB＝CE＝，BF＝1，AC＝，BC＝2

∴AF＝＝＝3

過點C作CT⊥AB于T，則CT＝==,

∴OT＝＝＝,

∵tan∠COH＝，

∴CHOT＝CTOC，即： CH＝×

∴CH＝，

∵EH＝FK＝a，

∴CH＝CE﹣EH＝﹣a，

∴﹣a＝，解得：a＝，

∴FK＝，EH＝，

∵△AEH∽△AFO

∴=，即AEOA＝AFEH，AE×＝3×，

∴AE＝2，EK＝AE+AF﹣FK＝2+3﹣＝

過W作WR⊥EF于R，易證：△BFK∽△WRK

∴=＝＝，設KR＝m，WR＝2m

∵＝tan∠WER＝tan∠BAF＝＝

∴＝，即ER＝6m，

∴EK＝7m＝，解得：m＝

∴ER＝6×＝，WR＝2×＝

∴WE＝＝=