Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線l與坐標軸相交于A（2，0），B（0，）兩點，將Rt△AOB繞原點O逆時針旋轉到Rt△A′OB′．

（1）求直線l的解析式；

（2）若OA′⊥AB，垂足為D，求點D的坐標；

（3）如圖2，若將Rt△AOB繞原點O逆時針旋轉90°，A′B′與直線l相交于點F，點E為x軸上一動點，試探究：是否存在點E，使得以點A，E，F為頂點的三角形和△A′BB′相似，若存在，請求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線l的解析式為y＝﹣x+；（2）D（，）；（3）存在，E坐標為（，0）或（﹣4，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）根據兩直線垂直k的乘積為-1，求出直線OA′的解析式，在構建方程組求出交點D坐標．
（3）利用方程組求出答為F坐標，分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）設直線l的解析式為y＝kx+b，則有，

∴，

∴直線l的解析式為y＝﹣x+；

（2）∵OA′⊥AB，直線AB的解析式為y＝﹣x+，

∴直線OA′的解析式為y＝2x，

，

解得，

∴D（，）．

（3）如圖2中，設E（m，0），

由題意直線A′B′的解析式為y＝2x+2，

由，

，解得，

∴F（，）

∵A′（0，2），B′（﹣，0），A（2，0），

∴A′B＝，A′B′＝5，AF＝6，

∵∠FAO＝∠B′A′B，

∴當時，△EAF∽△BA′B′，

即，

∴m＝，

∴E（，0）．

當時，△EAF∽△B′A′B，

即=，

∴m＝﹣4，

∴E（﹣4，0），

綜上所述，滿足條件的點E坐標為（，0）或（﹣4，0）．