Question

【題目】已知：點P為圖形M上任意一點，點Q為圖形N上任意一點，若點P與點Q之間的距離PQ始終滿足PQ＞0，則稱圖形M與圖形N相離．

（1）已知點A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．

①與直線y＝3x﹣5相離的點是　 　；

②若直線y＝3x+b與△ABC相離，求b的取值范圍；

（2）設直線y＝x+3、直線y＝﹣x+3及直線y＝﹣2圍成的圖形為W，⊙T的半徑為1，圓心T的坐標為（t，0），直接寫出⊙T與圖形W相離的t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①A，C；②b＞﹣1或b＜﹣7；（2）t＜﹣或t＞或﹣＜t＜．

【解析】

（1）①將A，B，C，D四個點的坐標代入直線y＝3x﹣5計算即可判斷．

②根據直線y＝3x+b經過點A，和點C計算b的值即可得出答案．

（2）分三種情形求出經過特殊位置的T的坐標即可得出答案．

解：（1）①∵點A（1，2），

∴當x＝1時，3﹣5＝﹣2，

∴點A不在直線y＝3x﹣5上，

同理，點C（2，﹣1）不在直線y＝3x﹣5上，點B（0，﹣5），點D（3，4）在直線上，

∴與直線y＝3x﹣5相離的點是A，C；

故答案為：A，C；

②當直線y＝3x+b過點A（1，2）時，

∴3+b＝2．

∴b＝﹣1．

當直線y＝3x+b過點C（2，﹣1）時，

∴6+b＝﹣1．

∴b＝﹣7．

∴b的取值范圍是b＞﹣1或b＜﹣7．

（2）①如圖1，圖形W為△ABC，直線y＝﹣x+3與y軸交于點A，與x軸交于點D，

令x＝0，y＝3，令y＝0，x＝，

∴OA＝3，OD＝，

∴∠OAD＝30°，∠ADO＝60°，

當⊙T位于直線AC右側，且與直線AC相切于點H，連接TH，

∴TH⊥DH，

∵∠TDH＝∠ADO＝60°，

∵TH＝1，

∴DT＝，

∴OT＝OD+DT＝，

∴T（，0），

∴當t＞時，⊙T與圖形W相離，

②如圖2，當⊙T位于直線y＝x+3左側，且與直線AB相切于點H，連接TH，

直線AB與x軸交于點E，

同理可得，TE＝，OE＝，

∴OT＝，

∴T（﹣，0），

∴當t＜﹣時，⊙T與圖形W相離，

③如圖3，當⊙T位于直線AC左側，且與直線AC相切時，

同理可得TD＝，OD＝，

∴OT＝OD﹣TD＝＝，

∴T（，0），

當⊙T與AB相切，且位于直線AB的右側時，

T（﹣，0），

∴當﹣時，⊙T與圖形W相離．

綜合以上可得，⊙T與圖形W相離時t的取值范圍是：t＜﹣或t＞或﹣＜t＜．