Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點（點在點的左邊），交軸于點，直線經過點與軸交于點，拋物線的頂點坐標為.

（1）請你求出的長及拋物線的函數關系式；

（2）求點到直線的距離；

（3）若點是拋物線位于第一象限部分上的一個動點，則當點運動至何處時，恰好使，請你直接寫出此時的點坐標.

Answer 1

【答案】(1)5,或；(2)；（3）P.

【解析】

(1)求出點C，D的坐標，再用勾股定理求得CD的長；設拋物線為y=a(x-2)2+4，將點C坐標代入求得a，即可得出拋物線的函數表達式；
(2)過點B直線CD的垂線，垂足為H，在Rt△BDH中，利用銳角三角函數即可求得點B到直線CD的距離；
(3)構造等腰直角△EDC和K字型全等圖形可得E點坐標，繼而可求直線ED的解析式，而直線ED與拋物線的交點即為所求的點P．

解：(1)∵，

∴C(0，3)，D(4，0)，

∵∠COD＝90°，

∴CD＝=5．

設拋物線為y＝a(x﹣2)2+4，將點C(0，3)代入拋物線，

得3＝4a+4，

∴，

∴拋物線的函數關系式為或；

(2)解：過點B作BH⊥CD于H，

由，

可得x1＝﹣2，x2＝6，

∴點B的坐標為(6，0)，

∵OC＝3，OD＝4，CD＝5，

∴BD＝OB﹣OD＝6﹣4=2，

在Rt△DHB中，

∵BH＝BDsin∠BDH＝BDsin∠CDO＝2×=，

∴點B到直線CD的距離為．

(3作∠CDP＝45°交拋物線于點P,作EC⊥CD交射線DP于點E,作EF⊥y軸于F

∴∠CED＝∠CDP＝45°, ∴CE＝CD

∵∠ECF+∠OCD＝90°，∠ECF +∠FEC＝90°

∴∠OCD＝∠FEC

∵ ∠CFE＝∠DOC＝90°，

∴△≌△FEC(AAS)，

∴ CF＝OD＝4，EF＝OC＝3， OF=OC+CF=7

∴點E(3，7)，

由E(3，7)，D(4，0)，可得直線ED的解析式為：y＝﹣7x+28，

解方程組,

得 , (不合題意，舍去);

所以，此時P點坐標為(,)．