Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的頂點都在菱形的邊上．設AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面積為S．

（1）求S關于x的函數解析式；

（2）當EFGH是正方形時，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）矩形EFGH的面積為S=-x2+x（0＜x＜1）；（2）S=．

【解析】

（1）連接BD交EF于點M，根據菱形的性質得出AB=AD，BD⊥EF，求出△AEH是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，求出EM=BE，即可求出答案；

（2）根據正方形的性質求出x，再求出面積即可．

（1）連接BD交EF于點M，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∵AE=AH，

∴EH∥BD∥FG，BD⊥EF，

∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AE=AH，

∴△AEH是等邊三角形，

∴∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，

∴EM=BE，

∴EF=BE，

∵AB=1，AE=x，

∴矩形EFGH的面積為S=EH×EF=x×（1-x）=-x2+x（0＜x＜1）；

（2）當矩形EFGH是正方形時，EH=EF，

即x=（1-x），

解得：x=，

所以S=x2=（）2=．