Question

【題目】銳角△ABC中，BC=6，，兩動點M,N分別在邊AB,AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y＞0)．

(1)求△ABC中邊BC上高AD；

(2)當x為何值時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；

(3)當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關于x的函數關系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）4；（2）2.4（或）；（3）3，6.

【解析】

（1）利用三角形的面積公式容易得出△ABC中邊BC上高AD的長度．

（2）因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比，得出等量關系，代入解析式可得出；

（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達式，配方成頂點式可得解.

解：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；
（2）當PQ恰好落在邊BC上時，
∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

即；

（3）設BC分別交MP，NQ于E，F，則四邊形MEFN為矩形．
設ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4-h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

即，

，

，

配方得：

∴當x=3時，y有最大值，最大值是6．