Question

【題目】如圖， 為 的直角邊 上一點，以 為半徑的 與斜邊 相切于點 ，交 于點 ．已知 ， ．

（1）求 的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AB= = =2 .

∵BC⊥OC

∴BC是⊙O的切線

又∵AB是⊙O的切線

∴BD=BC=

∴AD=AB-BD=

（2）

解：在Rt△ABC中，sinA= ==.

∴∠A=30°.

∵AB切⊙O于點D.

∴OD⊥AB.

∴∠AOD=90°-∠A=60°.

∵ =tanA=tan30°.

∴ =.

∴OD=1.

S陰影==.

【解析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長，然后根據切線的判定證出BC為切線，然后可根據切線長定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根據∠A的正弦求出∠A度數，然后根據切線的性質求出OD的長，和扇形圓心角的度數，再根據扇形的面積公式可求解.
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．