Question

【題目】在直角坐標系中， 放置一副三角板 ABO(OAB 90 ，OBA AOB 45 ，OA AB) ， BO 邊與 x 軸重合，其中一個45角的頂點在原點O ，直角頂點 A 在第一象限內．

（1）將另一個三角板 DEF 如圖 1 放置， EDF 90 ，直角頂點 D 置于 AO 邊上（不與O 重合），此時， DE 交 y 軸于 M 點， DF 交 x 軸于 N 點，求證：DM DN ．

（2）如圖 2， D 是線段 AB 上一動點，連接OD ，過O 作OE OD ，取點 E 滿足OE OD ．連接 EB 交OA 于點 P ，探究的值是否為定值，若是定值，求出其值；若不是定值，說明理由．

（3）如圖 3，直線a 經過原點且與 y 軸成22.5角，Q 是 x 軸上方直線a 上一動點，連接 AQ 、 BQ ，請比較OB OA 與QA QB 的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析.(2) 的值是定值，其值為，理由詳見解析；（3）AQ BQ OA OB ，理由詳見解析.

【解析】

（1）先判斷出∠IDM=∠KDN，得出DI=DK，進而得出△DIM≌△DKN，即可得出結論；
（2）先表示出點A，B坐標，進而得出直線OA，AB的解析式，即可得出ON，DN，BD，再判斷出△OME≌△DNO，得出OM=DN=-n+2m，EM=ON=n，進而得出直線BE解析式，即可求出點A坐標，進而得出AP，即可得出結論；
（3）先判斷出OQ是AA'的垂直平分線，進而得出A'Q=AQ，最后用三角形的三邊關系即可得出結論．

(1)如圖1,

過點D作DI⊥y軸于I，DK⊥x軸于K，

∴四邊形OIDK是矩形，

∴∠IDK=90，

∵∠EDF=90，

∴∠IDM=∠KDN

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴直線OA的解析式為y=x，

∴DI=DK，

在△DIM和△DKN中,

∴△DIM≌△DKN，

∴DM=DN；

(2)的值是定值,其值為：，

理由：如圖2,

過點A作AG⊥OB于G，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴OG=BG=AG，

設OG=BG=AG=m，

∴OB=2m，

∴A(m,m),B(2m,0)，

∴直線OA的解析式為y=x①，直線OB的解析式為y=x+2m，

設D(n,n+2m)

過點D作DN⊥OB于N，

∴ON=n，DN=n+2m，

∴

過點E作EM⊥OB于M，

∴∠OME=90=∠DNO，

∴∠OEM+∠EOM=90，

∵OD⊥OE，

∴∠DOE=90，

∴∠EOM+∠DON=90，

∴∠OEM=∠DON，

∵OM=OD，

∴△OME≌△DNO，

∴OM=DN=n+2m，EM=ON=n，

∴E(n2m,n)，

∵B(2m,0)，

∴直線BE的解析式為②/span>，

聯立①②解得,

∴

∵A(m,m)，

∴

∴

(3)AQ+BQ>OA+OB,理由：如圖3,

在x軸的負半軸上取一點A′，使OA′=OA，連接QA′，AA′，

∵直線a經過原點且與y軸成22.5角，

∴∠AOQ=45+22.5=67.5，

∴∠A′OQ′=180∠AOQ∠AOB=67.5=∠AOQ，

∴OQ⊥AA′，

∴AQ是AA′的垂直平分線，

∴AQ=A′Q，在△A′BQ中，A′Q+BQ>A′B，

∵A′B=OA′+OB=OA+OB，

∴AQ+BQ>OA+OB.