Question

已知如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC=

4

3

，直線MN是梯形的對稱軸，點P是線段MN上一個動點（不與M、N重合），射線BP交線段CD于點E，過點C作CF∥AB交射線BP于點F．
（1）求證：PC²=PE•PF；
（2）設PN=x，CE=y，試建立y和x之間的函數關系式，并求出定義域；
（3）連接PD，在點P運動過程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的長．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的判定定理求出△PEC∽△PCF，再利用相似三角形的性質求出

PC

PF

=

PE

PC

；
（2）利用平行線的性質得出

PN

EG

=

BN

BG

；
（3）利用逆推求PN的長．

解答：解：（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直線MN是梯形的對稱軸，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC²=PE•PF；

（2）過點E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC=tan∠DCB=

4

3

，
∴EG=

4

5

y，GC=

3

5

y．
由題意有EG∥MN，
∴

PN

EG

=

BN

BG

，即

x

4 5 y

=

4.5

9- 3 5 y

，
∴y=

15x

x+6

（0＜x≤3）；

（3）（Ⅰ）當∠PDC=∠DCF時，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=

3

4

，
∴

1.5

4-x

=

3

4

，
∴x=2．
（Ⅱ）當∠PDC=∠FEC=∠DEP時，過點P作PH⊥DE交AD的延長線于點O．
則DH=EH=

5-y

2

．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=

DH

cos∠ODH

=

5-y

2

•

5

3

，
又∵

MO

MP

=

4

3

，
∴x=

25± 241

16

．
因為2都在定義域內，所以當x=

25± 241

16

或x=2時，△EFC和△PDC相似．

點評：主要考查相似三角形的判定定理及性質和平行線的性質．