Question

【題目】如圖，點，點是射線上一動點（不與點重合），過點作直線的平行線交軸于，過點作軸的垂線交直線于，連結，，．

（1）當點在線段上且時，__________．

（2）當與相似時，點的橫坐標為____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）設BC與OP交于點D，先證出四邊形PBOC為平行四邊形，設BP=OC=OP=x，根據勾股定理求出CP和AP，然后根據AP＋OP=1即可求出x，再根據勾股定理求出AB和BC即可求出結論；

（2）根據點P的位置分類討論，分別畫出對應的圖形，分別根據勾股定理求出AB、BC和AC，然后根據相似的性質可得三角形ABC為等腰直角三角形，從而求出結論．

解：（1）設BC與OP交于點D

∵CO⊥x軸，BP⊥x軸

∴CO∥BP

∵CP∥OB

∴四邊形PBOC為平行四邊形

∴BP=OC,BC=2CD，OD=OP

∵點B在y=x上

∴BP=OP

設BP=OC=OP=x

∴CP=x

∴AP= CP=x

∵點A的坐標為（-1,0）

∴AP＋OP=1

即x＋x=1

解得：x=－1

∴BP=OC=OP=－1，AP=2－，OD=

根據勾股定理可得AB=

CD==

∴BC=

∴

故答案為：．

（2）①當點P在線段OA上時，

由（1）可知，△OPC為等腰直角三角形，設BP=OC=OP=x（0＜x＜1），則AP=1－x

根據勾股定理：AC=，

AB=，

BC=2CD=2=2=

∵1－x＜1，

∴AB＜AC

若與相似時，

∴△ABC為等腰直角三角形，其中AB和BC為直角邊

即

解得：x1=，x2=-1（不符合x的取值范圍，故舍去）

即OP=

∵點P在OA上

∴點P的橫坐標為；

當點P在AO的延長線上時，

同理可證：四邊形OCPB為平行四邊形，△OPC為等腰直角三角形，設BP=OC=OP=y（y＞0），則AP=1＋y

根據勾股定理：AC=，

AB=，

BC=2CD=2=2=

∵1＋y＞1，

∴AB＞AC

若與相似時，

∴△ABC為等腰直角三角形，其中AC和BC為直角邊

即

解得：y1=，y2=（不符合y的取值范圍，故舍去）

即OP=

∵點P在AO延長線上

∴點P的橫坐標為．

綜上：點P的橫坐標為或．

故答案為：或．