Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若AB=4，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4

【解析】

（1）根據有三個角是直角的四邊形是矩形進行證明；

（2）作OF⊥BC于F，根據矩形的性質得出BF=FC，由三角形中位線定理求出OF的長，由角的平分線的定義與∠ADC=90°求出EC的長，最后根據三角形面積公式進行求解．

（1）證明：∵，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：作OF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=4，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，

∴BF=FC，

∴OF是△BDC的中位線，

∴OF=CD=2，

∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，

∴∠EDC=45°，

∴在Rt△EDC中，EC=CD=4，

∴△OEC的面積．