Question

【題目】如圖,矩形中,點是線段上一動點, 為的中點, 的延長線交BC于.

(1)求證: ;

(2)若,,從點出發,以l的速度向運動(不與重合).設點運動時間為,請用表示的長;并求為何值時,四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) PD=8-t，運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形．

【解析】

(1)先根據四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據O為BD的中點得出△POD≌△QOB，即可證得OP=OQ；

(2)根據已知條件得出∠A的度數，再根據AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的長，再根據四邊形PBQD是菱形時，利用勾股定理即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形．

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，

又∵O為BD的中點，

∴OB=OD，

在△POD與△QOB中，

，

∴△POD≌△QOB，

∴OP=OQ；

(2)PD=8-t，

∵四邊形PBQD是菱形，

∴BP=PD= 8-t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，

即62+t2=(8-t)2，

解得：t=，

即運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形．