Question

【題目】如圖，在ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥DC于點F，AE=AF．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）2

【解析】

(1) 方法一: 連接AC, 利用角平分線判定定理, 證明DA=DC即可;

方法二: 只要證明△AEB≌△AFD. 可得AB=AD即可解決問題；

(2) 在Rt△ACF, 根據AF=CF·tan∠ACF計算即可.

（1）證法一：連接AC，如圖．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，

∴∠ACF=∠ACE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAC=∠ACB．

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴四邊形ABCD是菱形．

證法二：如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B=∠D．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

又∵AE=AF，

∴△AEB≌△AFD．

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）連接AC，如圖．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，

∴∠ECF=120°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ACF=60°，

在Rt△CFA中，AF=CFtan∠ACF=2．