Question

【題目】如圖，平面內有一等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F，小明同學過點C作BF的垂線，如圖1，利用三角形全等證得AF+BF＝2CE．

（1）若三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置，其他條件不變，試猜想線段AF、BF、CE之間的數量關系，并證明你的猜想．

（2）若三角板繞點A順時針旋轉至圖3的位置，其他條件不變，則線段AF、BF、CE之間的數量關系為　 　．

Answer 1

【答案】(1) AF﹣BF＝2CE;(2) BF﹣AF＝2CE；

【解析】

（1）過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，證明△CBG≌△CAE，再根據全等三角形對應邊相等，即可證得AF﹣BF＝2CE；

（2）過點C做CD⊥BF，交FB的于點D，證明△CBD≌△CAE，同樣可根據全等三角形對應邊相等，即可證得BF﹣AF＝2CE.

解：（1）AF﹣BF＝2CE

圖2中，過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，

∵AC＝BC

可得∠AEC＝∠CGB，

∠ACE＝∠BCG，

在△CBG和△CAE中，

，

∴△CBG≌△CAE（AAS），

∴AE＝BG，

∵AF＝AE+EF，

∴AF＝BG+CE＝BF+FG+CE＝2CE+BF，

∴AF﹣BF＝2CE；

（2）BF﹣AF＝2CE；

如圖3，過點C做CD⊥BF，交FB的于點D，

∵AC＝BC

可得∠AEC＝∠CDB，

∠ACE＝∠BCD，

在△CBD和△CAE中，

，

∴△CBD≌△CAE（AAS），

∴AE＝BD，

∵AF＝AE﹣EF，

∴AF＝BD﹣CE＝BF﹣FD﹣CE＝BF﹣2CE，

∴BF﹣AF＝2CE．

故答案為：BF﹣AF＝2CE．