Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點(點B在點A的右側)，且A，B兩點的坐標分別為(-2，0)，(8，0)，與y軸交于點C(0，-4)，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m，0)，過點P作x軸的垂線L交拋物線于點Q，交BD于點M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點P在線段OB上運動時，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形?

(3)位于第四象限內的拋物線上是否存在點N，使得△BCN的面積最大?若存在，求出N點的坐標，及△BCN面積的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線解析式為y=x2-x-4；(2) 當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形； (3) S△BCN= 8.

【解析】

（1）用待定系數法直接求出拋物線解析式；
（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標，根據待定系數法可求直線BD的解析式，根據平行四邊形的性質可得關于m的方程，求得m的值；再根據平行四邊形的判定可得四邊形CQMD的形狀；
（3）先判斷出點N在平行于BC且與拋物線只有一個交點時的位置，確定出點N的坐標，用面積和差求出三角形BCN的面積．

(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

根據題意得，

∴拋物線解析式為y=x2-x-4.

(2)∵C(0，-4)，

∴由菱形的對稱性可知，點D的坐標為(0，4).

設直線BD的解析式為y=kx+b'，則解得k=-，b'=4.

∴直線BD的解析式為y=-x+4.

∵l⊥x軸，

∴點M的坐標為，點Q的坐標為.

如圖，當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴=4-(-4).化簡得m2-4m=0，解得m1=0(不合題意舍去)，m2=4.

∴當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形.

(3)存在，理由:

當過點N平行于直線BC的直線與拋物線只有一個交點時，△BCN的面積最大.

∵B(8，0)，C(0，-4)，

∴BC=4.直線BC解析式為y=x-4，設過點N平行于直線BC的直線L解析是為y=x+n①，

∵拋物線解析式為y=x2-x-4②，聯立①②得，x2-8x-4(n+4)=0，③

∴Δ=64+16(n+4)=0，

∴n=-8，

∴直線L解析式為y=x-8，將n=-8代入③中得，x2-8x+16=0

∴x=4，

∴y=-6，

∴N(4，-6)，

如圖，過點N作NG⊥AB，

∴S△BCN=S四邊形OCNG+S△MNG-S△OBC=(4+6)×4+(8-4)×6-×8×6=8.