Question

【題目】如圖，四邊形中的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙上，是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合).

(1)當(dāng)圓心在內(nèi)部，時(shí)，________.

(2)當(dāng)圓心在內(nèi)部，四邊形為平行四邊形時(shí)，求的度數(shù);

(3)當(dāng)圓心在外部，四邊形為平行四邊形時(shí)，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】120

【解析】試題分析：（1）連接OA，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根據(jù)圓周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BOD=∠BCD，再根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠A，則∠BCD=2∠A，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)由∠BCD+∠A=180°，易計(jì)算出∠A的度數(shù)；

（3）討論：當(dāng)∠OAB比∠ODA小時(shí)，如圖2，與（1）一樣∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，

所以∠ADO-∠ABO=60°；當(dāng)∠OAB比∠ODA大時(shí)，用樣方法得到∠ABO-∠ADO=60°．

解： (1)連接OA,如圖1,

∵OA=OB，OA=OD，

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

故答案為120°；

(2)∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，

∵∠BOD=2∠A，

∴∠BCD=2∠A，

∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，

∴∠A=60°；

(3)當(dāng)∠OAB比∠ODA小時(shí)，如圖2，

∵OA=OB,OA=OD,

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD∠OAB=∠ADO∠ABO=∠BAD，

由(2)得∠BAD=60°，

∴∠ADO∠ABO=60°；

當(dāng)∠OAB比∠ODA大時(shí)，

同理可得∠ABO∠ADO=60°，

綜上所述,.