Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點E從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿對角線AC向終點C運動，點F從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊BA向終點A運動，連結EF，將線段EF繞點F順時針旋轉90°得到線段FG，以EF，FG為邊作正方形EFGH，設點E運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）用含t的代數式表示點E到邊AB的距離．

（2）當點G落在邊AB上時，求t的值．

（3）連結BG，設△BFG的面積為S平方單位（S＞0），求S與t之間的函數關系式．

（4）直接寫出當正方形EFGH的頂點與點B，D距離相等時的t值．

Answer 1

【答案】（1）點E到邊AB的距離為t（2）t=1（3）S= （4）當正方形EFGH的頂點與點B，D距離相等時的t值為s或1s或s

【解析】試題分析：（1）如圖1中，作EM⊥AB于M．由EM∥BC，可得，即，延長即可解決問題；

（2）如圖2中，G在AB邊時，由AF+FB=4，可得2t+2t=4，解方程即可；

（3）分兩種情形①如圖3中，當0<t<1時，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．②如圖4中，當1<t≤2時，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．分別求解即可；

（4）分三種情形①如圖5中，當H在BD的垂直平分線上時，根據HD=HB列出方程即可解決問題；②當點E在BD的垂直平分線上時，易知AE=EC，t=1；③當點F在線段BD的垂直平分線上時，分別求解即可．

試題解析：（1）如圖1中，作EM⊥AB于M．

∵AB=4，BC=2，∠B=90°，

∴AC=，

∵EM∥BC，

∴，

∴，

∴EM=t，AM=2t．

∴點E到邊AB的距離為t．

（2）如圖2中，G在AB邊時，

由AF+FB=4，可得2t+2t=4，

∴t=1．

（3）①如圖3中，當0＜t＜1時，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．

由△EMF≌△FNG，可得NG=FM=4﹣4t，

∴S=FBGN=2t（4﹣4t）=﹣4t2+4t．

②如圖4中，當1＜t≤2時，作GN⊥AB于N，EM⊥AB于M．

由△EMF≌△FNG，可得NG=FM=4t﹣4

S=FBGN=2t（4t﹣4）=4t2﹣4t．

綜上所述，S=．

（4）①如圖5中，當H在BD的垂直平分線上時，

作HM⊥BC于M，延長MH交AD于N，作EP⊥AB于P，延長PE交MN于Q．

由△EPF≌△HQE可得HQ=EP=T．EQ=PF=4﹣4t，

在Rt△HND中，DH2=DN2+HN2=（3t﹣2）2+（3t）2，

在Rt△BHM中，BH2=（4﹣3t）2+（4﹣3t）2，

∴HD=HB，

∴（3t﹣2）2+（3t）2=4﹣3t）2+（4﹣3t）2，

∴t=．

②當點E在BD的垂直平分線上時，易知AE=EC，t=1．

③當點F在線段BD的垂直平分線上時，

∵BF=DF=2t

在Rt△ADF中，22+（4﹣2t2=（2t）2，

∴t=，

綜上所述，當正方形EFGH的頂點與點B，D距離相等時的t值為s或1s或s.