Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y＝kx+b經過點A（﹣2，﹣1），交y軸負半軸于點B，且∠ABO＝30°，過點A作直線AC⊥x軸于點C，點P在直線AC上．

（1）k＝　 　；b＝　 　；

（2）設△ABP的面積為S，點P的縱坐標為m．

①當m＞0時，求S與m之間的函數關系式；

②當S＝2時，求m的值；

③當m＞0且S＝4時，以BP為邊作等邊△BPQ，請直接寫出符合條件的所有點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣；b＝﹣1﹣2；（2）①S＝1+m；②m的值為1或﹣3；③點Q的坐標為（﹣4﹣2，1﹣2）或（2+2，1）

【解析】

（1）CD=AC=，AD=2CD=，則B（0，-1-2），把點B和A（-2，-1）代入y=kx+b，即可求解；

（2）①當m＞0，△ABP的面積為S=（1+m）×2=1+m，即S=1+m；

②-1＜m≤0時，△ABP的面積為S=（1+m）×2=1+m，即S=1+m；當m＜-1時，△ABP的面積為S=（-1-m）×2=-1-m，即S=-1-m；即可求解；
③以證明△BPQ是等邊三角形、△BQE≌△PBF（AAS），、△PQ'G≌△PBF（AAS），即可求解．

解：（1）設直線y＝kx+b與x軸交于點D，如圖所示：

∵點A（﹣2，﹣1），

∴OC＝2，AC＝1，

∵AC⊥x軸，OB⊥x軸，

∴AC∥OB，

∴∠CAD＝∠ABO＝30°，

∴CD＝AC＝，

∴AD＝2CD＝，

OD＝CD+OC＝+2，

∴BD＝2OD＝+4，OB＝OD＝1+2，

∴B（0，﹣1﹣2），

把點B和A（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得：并解得：

∴y＝﹣x﹣1﹣2，

故答案為：﹣；

（2）①當m＞0，如圖1所示：

則PC＝m，AP＝AC+PC＝1+m，

∴△ABP的面積為S＝（1+m）×2＝1+m，即S＝1+m；

②﹣1＜m≤0時，如圖2所示：

則AP＝1+m，

∴△ABP的面積為S＝（1+m）×2＝1+m，即S＝1+m；

當m＜﹣1時，如圖3所示：

則AP＝﹣1﹣m，

∴△ABP的面積為S＝（﹣1﹣m）×2＝﹣1﹣m，即S＝﹣1﹣m；

把S＝2代入S＝1+m得：2＝1+m，

解得：m＝1；

把S＝2代入S＝﹣1﹣m得：2＝﹣1﹣m，

解得：m＝﹣3；

綜上所述，當S＝2時，m的值為1或﹣3；

③以BP為邊作等邊△BPQ和等邊△BPQ'，作QE⊥y軸于E，PF⊥y軸于F，如圖4所示：

則PF＝2，OF＝3，BF＝OF+OB＝4+2，

當m＞0且S＝4時，4＝1+m，

解得：m＝3，

∴P（﹣2，3），

∴PC＝3，AP＝1+3＝4，

∵AB＝BD﹣AD＝4，

∴AP＝AB，

∴∠ABP＝∠APB＝∠CAD＝15°，

∵AC∥OB，

∴∠PBF＝∠APB＝15°，

∵△BPQ是等邊三角形，

∴BQ＝BP，∠PBQ＝60°，

∴∠QBE＝75°，∴∠BQE＝90°﹣75°＝15°＝∠PBF，

在△BQE和△PBF中，

∠QEB＝∠BFP＝90°，∠BQE＝∠PBF，BQ＝PB，

∴△BQE≌△PBF（AAS），

∴QE＝BF＝4+2，BE＝PF＝2，

∴OE＝OB﹣BE＝2﹣1，

∴點Q的坐標為（﹣4﹣2，1﹣2）；

作Q'G⊥PC于G，交y軸于E'，

同理：△PQ'G≌△PBF（AAS），

∴Q'G＝BF＝4+2，PG＝PF＝2，

∴OE'＝Q'G﹣OC＝2+2，CG＝PC﹣PG＝1，

∴點Q'的坐標為（2+2，1）；

綜上所述，點Q的坐標為（﹣4﹣2，1﹣2）或（2+2，1）．