Question

【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,經過點B的直線l(不與直線AB重合)與直線BC的夾角等于∠ABC,分別過點C、點A作直線l的垂線,垂足分別為點D、點E.

(1)如圖1,當點E與點B重合時,若AE=4,判斷以C點為圓心CD長為半徑的圓C與直線AB的位置關系并說明理由;

(2)如圖2,當點E在DB延長線上時,求證:AE=2CD;

(3)記直線CE與直線AB相交于點F,若,,CD=4,求BD的長.

Answer 1

【答案】(1)以C點為圓心CD長為半徑的圓C與直線AB的位置關系是相切 (2)證明見解析(3) BD的長為2或8.

【解析】分析：

（1）如圖1，過點C作CF⊥AB于點F，由已知條件易證此時四邊形DBFC是正方形，由此可得CF=CD，從而可得此時以點C為圓心，CD長為半徑的圓C與直線AB的位置關系是相切；

（2）如圖2，延長AC交直線l于點G，由∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC結合“三角形內角和定理”可得∠BAC=∠BGC，由此可得AB=GB，結合BC⊥AG可得AC=GC，由CD⊥l，AE⊥l可得CD∥AE，由此即可得到CD：AE=GC：GA=1：2，從而可得結論AE=2CD；

（3）如圖3和圖4，分點E在線段DB的延長線上和線段DB上兩種情況作出符合要求的圖形，并過點C作CG∥l交AB于點H，交AE于點G，然后結合已知條件和（2）中所得結論進行分析計算即可.

詳解：

(1)以C點為圓心CD長為半徑的圓C與直線AB的位置關系是相切,

理由如下：

如圖1，過點C作CF⊥AB,垂足為點F，

∵CD⊥l，AB⊥l，CF⊥AB，

∴∠CDB=∠DBA=∠CFB=90°，

∴四邊形DBFC是矩形，

∵∠ABD=90°，∠ABC=∠CBD，

∴ ∠ABC=∠CBD=45°,

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°,

∴ ∠BCF=∠ABC=45°，

∴CF=BF，

∴四邊形DBFC是正方形，

∴CF=CD=2，

∴圓C與直線AB相切；

(2)如圖2，延長AC交直線l于點G,

∵∠ACB=90°,∠ABC=∠GBC

∴∠BAC=∠BGC

∴ AB=GB

∴ AC=GC,

∵ AE⊥l，CD⊥l，

∴ AE∥CD

∴ ,

∴AE=2CD

(3)由題意分以下兩種情況解答：

(I)如圖3,當點E在DB延長線上時:

過點C作CG∥l交AB于點H,交AE于點G,則∠CBD=∠HCB,

∵∠ABC=∠CBD,

∴∠ABC=∠HCB,

∴CH=BH,

∵∠ACB=90°,

∴∠ABC+∠BAC=∠HCB+∠HCA=90°

∴∠BAC=∠HCA

∴CH=AH=BH,

∵CG∥l,

∴ ,

設CH=5x,則BE=6x,AB=10x

在Rt△ABE中,

由(2)知AE=2CD=8,

∴8x=8,得x=1

∴CH=5,BE=6,AB=10

∵ CG∥l,

∴ ,

∴HG=3,

∴CG=CH+HG=8,

∵四邊形CDEG是矩形,

∴DE=CG=8

∴BD=DE-BE=2;

(Π)如圖4,當點E在DB上時:

同理可得CH=5,BE=6,HG=3,

∴DE=CG=GH-HG=2

∴BD=DE+BE=8,

綜上所述,BD的長為2或8.