Question

【題目】閱讀下面材料，并解決問題：

（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝__________；

（2）基本運(yùn)用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；

（3）能力提升

如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）EF2＝BE2+FC2．（3）.

【解析】

（1）由△ACP′≌△ABP可得旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，可得△APP′為等邊三角形，根據(jù)勾股定理逆定理可證明△PP′C為直角三角形，根據(jù)∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可證明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠E′CF＝90°，根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論；（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出AB、BC的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A′BC=90°，△BOO′是等邊三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定義可證明C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，利用勾股定理求出A′C的長即可得答案.

（1）∵△ACP′≌△ABP，

∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，

由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，

∴△APP′為等邊三角形，

∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，

∵P′C=PB=4，PC=5，

∴PC2=P′C2+P′P2，

∴△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.

故答案為：150°

（2）如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，

∴∠EAF＝∠E′AF，

在△EAF和△E′AF中，

∴△EAF≌△E′AF（SAS），

∴E′F＝EF，

∵∠CAB＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，

由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，

即EF2＝BE2+FC2．

（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2，

∴BC＝，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∠ABC=30°，

∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，

∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝2，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，

∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，

∴△BOO′是等邊三角形，

∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，

∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，

∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，

∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，

在Rt△A′BC中，A′C＝，

∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．