Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與軸交于點A、B，與軸交于點C．

（1） ； ；

（2）點P為該函數在第一象限內的圖像上的一點，過點P作于點Q，連接PC，

①求線段PQ的最大值；

②若以P、C、Q為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①PQ的最大值是；②P的坐標為或

【解析】試題分析：（1）設交點式y=a（x+1）（x-4），再展開可得到-4a=2，解得a=-，即可得到b的值；

（2）①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-x+2，設P（t，-t2+t+2），則M（t，-t+2），用t表示出PM=-t2+2t，再證明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=-t2+t，然后利用二次函數的性質解決問題；②討論：當∠PCQ=∠OBC時，△PCQ∽△CBO，PC∥x軸，利用對稱性可確定此時P點坐標；當∠CPQ=∠OBC時，△CPQ∽△CBO，則∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM為等腰三角形，則PC=PM，利用兩點間的距離公式得到t2+（-t2+t+2-2）2=（-t2+2t）2，然后解方程求出t得到此時P點坐標．

試題解析：（1）設拋物線解析式為y=a(x+1)(x4)，

即y=ax23ax4a，

則4a=2,解得a=，

則b=-3a=；

（2）(2)①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，

BC=，

當x=0時，y=-x2+x+2=2，則C(0，2)，

設直線BC的解析式為y=mx+n，

把C(0，2)，B(4，0)得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x+2，

設P(t， t2+t+2)，則M(t， t+2)，

∴PM=t2+t+2(t+2)= t2+2t，

∵∠NBM=∠NPQ，

∴△PQM∽△BOC，

∴，即PQ=，

∴PQ=t2+t= (t2)2+，

∴當t=2時，線段PQ的最大值為；

②當∠PCQ=∠OBC時,△PCQ∽△CBO，

此時PC∥OB,點P和點C關于直線x=對稱，

∴此時P點坐標為(3，2)；

當∠CPQ=∠OBC時，△CPQ∽△CBO，

∵∠OBC=∠NPQ，

∴∠CPQ=∠MPQ，

而PQ⊥CM，

∴△PCM為等腰三角形，

∴PC=PM，

∴t2+(t2+t+22)2=(t2+2t)2，

解得t=，

此時P點坐標為(， )，

綜上所述,滿足條件的P點坐標為(3，2)或(， ).