Question

【題目】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AP的中點(diǎn)，將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D．

（1）求b、c的值；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上；

（3）是否存在t，使得以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=，c=4；（2）t=3；（3）t=或．

【解析】

試題分析：（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，求出b，c的值即可；

（2）先求得M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后將D（t+2，4）代入（1）中的拋物線的解析式，即可求出t的值；

（3）由于t=8時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8兩種情況進(jìn)行討論，在每一種情況下，當(dāng)以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△PEB相似時(shí)，又分兩種情況：△BEP∽△ADB與△PEB∽△ADB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，4）和C（8，0），

∴，解得：，∴b=，c=4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO，∴△AOP∽△PEB且相似比為=2，∵AO=4，∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，又∵DE=OA=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，4），∴點(diǎn)D落在拋物線上時(shí)，有，解得t=3或t=﹣2，∵t＞0，∴t=3．故當(dāng)t為3時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上；

（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似，理由如下：

①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖1．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（4﹣t），整理得：，∴t無(wú)解；

若△POA∽△BDA，同理，解得（負(fù)值舍去）；

②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖2．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（t﹣4），解得t=（負(fù)值舍去）；

若△POA∽△BDA，同理，解得t無(wú)解．

綜上可知，當(dāng)t=或時(shí)，以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似．