Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC交BC于點D．

（1）求tan∠DAB；

（2）若⊙O過A、D兩點，且點O在邊AB上，用尺規作圖的方法確定點O的位置并求出的⊙O半徑．（保留作圖軌跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）；（2）作圖見解析；r=.

【解析】

（1）過點D作DE⊥AB于E，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，再利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，設CD=DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可得到CD的長，進而得出結論．
（2）要使⊙O過A、D兩點，即OA=OD，所以點O在線段AD的垂直平分線上，且圓心O在AC邊上，所以作出AD的垂直平分線與AC的交點即為點O；利用相似三角形的性質，即可得到⊙O的半徑．

（1）過點D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，

∴CD=DE，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC=3，

由勾股定理得，AB==5，

∴BE=AB﹣AE=5﹣3=2，

設CD=DE=x，則BD=4﹣x，

在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，

x2+22=（4﹣x）2，

解得x=，

即CD的長為，

∴Rt△ACD中，tan∠DAC=，

∴tan∠DAB=；

（2）如圖，點O即為所求，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴，

設OD=AO=r，則BO=5﹣r，

∴，

∴r=，即⊙O半徑為．