Question

【題目】在中，．

（1）如圖．分別過(guò)、兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的垂線，垂足分別為、，求證：．

（2）如圖，是邊上一點(diǎn)，，，求的值．

（3）如圖，是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，，，，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） （3）

【解析】

（1）由題意，只要證明△AMB∽△BNC，即可得到結(jié)論成立；

（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，先證明，得到，再證明，即可得到結(jié)論成立；

（3）作AG⊥BE于G，作CH⊥BE于點(diǎn)H，先判斷出，再同（2）的方法，即可得出結(jié)論．

證明：（1）：，

，

又，

∴∠M=∠N=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2．

，

；

（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/07/22/04/8078862f/SYS202007220422182855736715_DA/SYS202007220422182855736715_DA.007.png" width="72" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />于點(diǎn)，

，，

，

，

，

，

設(shè)，，則，，

又，

，

，

又，，

；

，

解得：，

；

（3）如圖，作AG⊥BE于G，作CH⊥BE于點(diǎn)H，

在Rt△ABC中，，

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴，
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
設(shè)BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，
∴，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=．

∴．