Question

【題目】如圖，拋物線的與軸交于點，與軸交于點，

（1）求該拋物線的解析式及頂點的坐標；

（2）若是線段上一動點，過作軸的平行線交拋物線于點，交于點，設時，的面積為．求關于的函數關系式；若有最大值，請求出的最大值，若沒有，請說明理由；

（3）若是軸上一個動點，過作射線交拋物線于點，隨著點的運動，在軸上是否存在這樣的點，使以 、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），當時，有最大值，最大值是；（3）存在，點為，，

【解析】

（1）根據待定系數法即可求出拋物線的解析式，把一般式轉化為頂點式即得頂點坐標；

（2）如圖1，先求出點B坐標，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，由，則點H、N的橫坐標都可以用含t的代數式表示，由即可得到S與t的函數關系式，進一步即可根據二次函數的性質求出S的最大值；

（3）設，分兩種情況：①如圖2，當在軸下方時，作軸于，由平行四邊形的性質可證得，從而可得，由此可得關于x的方程，解方程即可求x的值，進而可得點P坐標；②如圖3，當在軸上方時，作軸于，同①的方法解答即可．

解（1）將，代入，

得，解得：，

∴拋物線的表達式為：；

∴拋物線的頂點坐標為；

（2）由，得x=3或x=﹣1，則點，

如圖1，連接、、，設直線解析式為，代入，，得：

，解得：，

∴直線的解析式為；

∵，∴，，

∴，

則當時，有最大值，最大值是；

（3）存在，P點坐標為，，；

理由如下：設，

①如圖2，當在軸下方時，作軸于，

∵

∴當時，四邊形為平行四邊形，

∴，

∴，

∴，

解得：或（與點重合，舍去），

∴；

②如圖3，當在軸上方時，作軸于，

∵

∴當時，四邊形為平行四邊形，

∴，

∴，

∴，

解得：或，

∴，；

綜上所述，點為，，．