Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG=AD，動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動(M不與A，G重合)，設運動時間為t秒，連接BM并延長交AG于N．

（1）當AM=_____________時，△ABM是以AB為底邊的等腰三角形；

（2）當點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=HN；

（3）過點M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并求S最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），當t=時，S的最大值是．

【解析】

（1）△ABM是以AB為底邊的等腰三角形，則為正方形的對角線的交點，從而可得答案，

（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；由正方形的性質得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先證出∠BKN=∠NDH，再證出∠ABN=∠DNH，由ASA證明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；

（3）①當M在AC上時，即0＜t≤時，△AMF為等腰直角三角形，得出AF=FM= 求出S=AFFM=；當t=時，即可求出S的最大值； ②當M在CG上時，即＜t＜時，先證明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，證出△MFG為等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°=，得出S=S△ACG-S△CMJ-S△FMG．

解：（1）△ABM是以AB為底邊的等腰三角形，

此時點M為AC的中點，

正方形ABCD，

故答案為：

（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；

正方形ABCD，

∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，

BK=DN，

平分

△BNK≌△NHD，

BN=NH；

（3）①當點M在AC上時，即0＜t≤時，

由正方形的性質得：△AMF為等腰直角三角形．

∵AM=t，

∴AF=FM=

∴S=AFFM=

當時，

當點M在CG上時，

即＜t＜時，CM=，MG=．

∵AD=DG，∠ADC=∠CDG，CD=CD，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD=∠GCD=45°

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°

∴∠G=90-∠GCD=90°-45°=45°

∴△MFG為等腰直角三角形．

∴FG=，

∴S=S△ACG-S△MCJ-S△FMG=

當 ，

綜上：當

∴