Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC、CE．

（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=，BC－AC=2，求CE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）5.

試題分析：（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據線段垂直平分線的性質，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先設BC=x，則AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，可得方程：（x-2）²+x²=（）²，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．
試題解析：證明：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；
（2）解：設BC=x，則AC=x-2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=（）²，
解得x=3或－5（舍去）即BC=5
又∵⊙O中，∠E=∠B，
∴∠D=∠E
∴CE=CD=BC=5