Question

如圖，在直角坐標平面內，直線與軸和軸分別交于A、B兩點，二次函數的圖象經過點A、B，且頂點為C．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求的值；
（3）若P是這個二次函數圖象上位于軸下方的一點，且ABP的面積為10，求點P的坐標．

Answer 1

（1）
（2）
（3）P（4，-3）

解析試題分析：（1）根據直線方程求得點A、B的坐標；然后把點A、B的坐標代入二次函數解析式，通過方程組來求系數b、c的值；
（2）如圖，過點C作CH⊥x軸交x軸于點H，構建等腰△AOC．則∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=sin∠OAC＝.
（3）如圖，過P點作PQ⊥x軸并延長交直線y=-x+5于Q．設點P（m，m²-6m+5），Q（m，-m+5），則PQ=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m．由S_△ABP=S_△PQB+S_△PQA得到：10＝(?m²+5m)×5，則易求m的值．注意點P位于第四象限．
試題解析：
解：（1）由直線得點B(0，5)，A(5，0)，
將A、B兩點的坐標代入，得，解得
∴拋物線的解析式為 
（2）過點C作交x軸于點H
把配方得∴點C(3，-4)，
∴CH=4，AH=2，AC=∴OC=5，
∵OA=5∴OA=OC∴
=
（3)過P點作PQx軸并延長交直線于Q
設點P)，Q(m,-m+5)
=
∵
∴
∴
∴ 
∴P(1,0)(舍去)，P（4，-3）
考點：二次函數綜合題．