Question

【題目】一、閱讀材料：

已知實數m，n滿足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）=80，試求2m2＋n2的值．

解：設2m2＋n2=t，則原方程變為（t＋1）（t－1）=80，整理得t2－1=80，t2=81，所以t=土9，因為2m2＋n2＞0，所以2m2＋n2=9．

二、方法歸納：

上面這種方法稱為“　　　　 法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．

三、探索實踐：

根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．

（1）已知實數x、y，滿足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）=27，求x2＋y2的值．

（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2＋b2）（a2＋b2－4）=5，求Rt△ACB外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】換元；（1）3；（2）

【解析】

方法歸納：根據題意可知，這種方法稱為換元法；

（1）設2x2＋2y2=t，利用材料中提供的方法，解關于t的方程即可得出結果；

（2）設a2＋b2=t，利用材料中提供的方法先求出a2＋b2的值，再利用直角三角形的性質即可求出結果.

解：二、方法歸納：換元

三、探索實踐：

（1）設2x2＋2y2=t，則原方程可變為：（t＋3）（t－3）=27，解之得t=±6．

∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2=6，∴x2＋y2=3；

（2）設a2＋b2=t，則原方程可變為：t（t－4）=5，即t2－4t－5=0，

解之得t1=5，t2=－1．

∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2=5，∴c2=5，∴c=，∴外接圓半徑為.