Question

在平面直角坐標系中，二次函數（）的圖象與軸正半軸交于A點．
（1）求證：該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設該二次函數的圖象與x軸的兩個交點中右側的交點為點B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，設M（p，q）為二次函數圖象上的一個動點，當時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）根據二次函數與一元二次方程的關系，要證明二次函數的圖象與x軸有兩個交點，只要對應的一元二次方程根的判別式大于0即可.
（2）求出直線AB的解析式，根據平移的性質即可得直線l的解析式.
（3）求出點M關于x軸的對稱點所在的二次函數解析式，由其在直線l的下方求出m的取值范圍．
試題解析：（1）令，則
.
∵二次函數圖象與y軸正半軸交于A點，
∴，且.
又，∴.
∴.
∴該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點．
（2）令，解得：．
由（1）得，故B的坐標為（1，0）．
又因為∠ABO=45°，所以，即.
則可求得直線AB的解析式為.
再向下平移2個單位可得到直線．
（3）由（2）得二次函數的解析式為
∵M（p，q）為二次函數圖象上的一個動點，
∴.
∴點M關于x軸的對稱點的坐標為.
∴點在二次函數上.
∵當時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，
當時，；當時，.
結合圖象可知：，
解得：.
∴的取值范圍為．

考點：1.二次函數綜合題；2.平移和軸對稱的性質；3．二次函數與一元二次方程的關系；4．一元二次方程根的判別式.