Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．
（1）拋物線y=x²對應的碟寬為　 　；拋物線y=4x²對應的碟寬為　 　；拋物線y=ax²（a＞0）對應的碟寬為　　；拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）對應的碟寬為　　；
（2）拋物線y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）對應的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
（3）將拋物線y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對應準蝶形記為F_n（n=1，2，3…），定義F₁，F₂，…，F_n為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n﹣1的相似比為，且F_n的碟頂是F_n﹣1的碟寬的中點，現將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應的準蝶形記為F₁．
①求拋物線y₂的表達式；
②若F₁的碟高為h₁，F₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n，則h_n=　　，F_n的碟寬有端點橫坐標為　2　；F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達式；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）4；1；；．

解析試題分析：（1）根據定義可算出y=ax²（a＞0）的碟寬為、碟高為，由于拋物線可通過平移y=ax²（a＞0）得到，得到碟寬為、碟高為，由此可得碟寬、碟高只與a有關，與別的無關，從而可得．
（2）由（1）的結論，根據碟寬易得a的值．
（3）①根據y₁，容易得到y₂．
②結合畫圖，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直線x=2上，可以考慮h_n∥h_n﹣1，且都過F_n﹣1的碟寬中點，進而可得．畫圖時易知碟寬有規律遞減，由此可得右端點的特點．對于“F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點是否在一條直線上？”，我們可以推測任意相鄰的三點是否在一條直線上，如果相鄰的三個點不共線則結論不成立，反之則成立，所以可以考慮基礎的幾個圖形關系，利用特殊點求直線方程即可．
試題解析：（1）4；1；；．
∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△DAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=-y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（﹣，），B（，），C（0，），
∴AB=，OC=，
即y=ax²的碟寬為．
①拋物線y=x²對應的a=，得碟寬為4；
②拋物線y=4x²對應的a=4，得碟寬為為；
③拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為；
④拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的圖形，
∵平移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）的準碟形與拋物線y=ax²的準碟形全等，
∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為，
∴拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0），碟寬為．
（2）∵y=ax²﹣4ax﹣，
∴由（1），其碟寬為，
∵y=ax²﹣4ax﹣的碟寬為6，
∴=6，
解得A=，
∴y=x²﹣x﹣=（x﹣2）²﹣3
（3）①∵F₁的碟寬：F₂的碟寬=2：1，
∴=，
∵a₁=，
∴a₂=．
∵y=（x﹣2）²﹣3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴F₂的碟頂坐標為（2，0），
∴y₂=（x﹣2）²．
②∵F_n的準碟形為等腰直角三角形，
∴F_n的碟寬為2h_n，
∵2h_n：2h_n﹣1=1：2，
∴h_n=h_n﹣1=（）²h_n﹣2=（）³h_n﹣3=…=（）ⁿ⁺¹h₁，
∵h₁=3，
∴h_n=．
∵h_n∥h_n﹣1，且都過F_n﹣1的碟寬中點，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在一條直線上，
∵h₁在直線x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直線x=2上，
∴F_n的碟寬右端點橫坐標為2+．
另，F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=﹣x+5．
分析如下：
考慮F_n﹣2，F_n﹣1，F_n情形，關系如圖2，