Question

【題目】在三角形ABC中，點D在線段AB上，DE∥BC交AC于點E，點F在直線BC上，作直線EF，過點D作直線DH∥AC交直線EF于點H.

（1）在如圖1所示的情況下，求證:∠HDE=∠C；

（2）若三角形ABC不變，D，E兩點的位置也不變，點F在直線BC上運動.

①當點H在三角形ABC內部時，直接寫出∠DHF與∠FEC的數量關系；

②當點H在三角形ABC外部時，①中結論是否依然成立？請在圖2中畫圖探究，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠DHF＋∠FEC=180°；②當點H在三角形ABC外部時，∠DHF=∠FEC，理由見解析.

【解析】

（1）根據“平行線的性質”結合“已知條件”分析證明即可；

（2）①如圖1，當點H在△ABC內部時，由DH∥AC可得∠FEC=∠DHE，結合∠DHE+∠DHF=180°，即可得到：此時∠DHF+∠FEC=180°；

②當點H不在△ABC內部時，分點H在直線DE的上方和下方兩種情況畫出圖形，如圖2-1和圖2-2所示，再根據“平行線的性質”結合“已知條件”進行分析證明可得：此時∠DHF=∠FEC.

（1）∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠C，

∵DH∥AC，

∴∠HDE=∠ADE.

（2）①當點H在△ABC內部時，∠DHF＋∠FEC=180°，理由如下：

∵DH∥AC，

∴∠FEC=∠DHE，

又∵∠DHE+∠DHF=180°，

∴∠DHF+∠FEC=180°；

②當點H在△ABC外部時，①中結論不成立，理由如下：

ⅰ).如圖2-1，當點H在直線DE上方時，

∵DH∥AC，

∴∠DHF=∠FEC.

ⅱ).如圖2-2，當點H在直線DE下方時，

∵DH∥AC，

∴∠DHF=∠FEC.

綜上所述，當點H在△ABC外部時，∠DHF=∠FEC.