Question

【題目】如圖1，已知拋物線與拋物線的形狀相同，開口方向相反，且相交于點和點．拋物線與軸正半軸交于點為拋物線上兩點間一動點，過點作直線軸，與交于點．

（1）求拋物線與拋物線的解析式;

（2）四邊形的面積為，求的最大值，并寫出此時點的坐標;

（3）如圖2，的對稱軸為直線，與交于點，在(2)的條件下，直線上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）16；（-1,4）； （3）存在點的坐標或（使得為頂點的三角形與相似，理由見解析．

【解析】

（1）分別利用待定系數法求兩個二次函數的解析式；
（2）設點P橫坐標為t，則P（t，t2＋t＋6），Q（t，t2＋5t），表示PQ的長，根據兩三角形面積和可得S與t的關系式，配方后可得S的最大值；
（3）先確定∠AQB＝135°，然后分兩種情況討論可得結論．

解：（1）將代入得：，

∴，

∵與形狀相同，開口相反，

∴，

∴，

將代入得，

解得：，，

∴；

（2）設點橫坐標為t，

則，，

∴，

∴

，

∴當時，，此時的坐標為；

（3）存在點，

由得直線為：，

由（2）知點的坐標為點的坐標為，

且為,

令得：為，

如圖，設與軸交于點，直線與軸交于點，

作的延長線，垂足為點，易知，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴點在的上方，

， ，

,，

①若，則，

即

此時的坐標為；

②若，則，

即，此時的坐標為，

綜上可知存在點的坐標或（使得為頂點的三角形與相似．