Question

小明和同桌小聰在課后做作業時，對課本中的一道作業題，進行了認真探索．
【作業題】如圖1，一個半徑為100m的圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，測得圓周角∠C=45°，求橋AB的長．

小明和小聰經過交流，得到了如下的兩種解決方法：
方法一：延長BO交⊙O與點E，連接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=；
方法二：作AB的弦心距OH，連接OB， ∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB， ∴HB=，∴AB=．
感悟：圓內接三角形的一邊和這邊的對銳角、圓的半徑（或直徑）這三者關系，可構成直角三角形，從而把一邊和這邊的對銳角﹑半徑建立一個關系式．
（1）問題解決：受到（1）的啟發，請你解下面命題：如圖2，點A（3，0）、B（0，），C為直線AB上一點，過A、O、C的⊙E的半徑為2．求線段OC的長．

（2）問題拓展：如圖3，△ABC中，∠ ACB=75°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連結EF， 設⊙O半徑為x， EF為y．①y關于x的函數關系式；②求線段EF長度的最小值．

Answer 1

（1）；（2）①；②．

試題分析：（1）根據方法一，延長OE交⊙O于點F，連接CF，即可得到∠F=60°，從而求出OC的長；
（2）①根據方法一，容易求出y與x的關系，②由①知，EF是半徑的倍，所以只需求出半徑（或直徑AD）的取值范圍即可．由于D是BC邊上的動點，故AD最大為AB=，最小為△ABC的邊BC上的高．
試題解析：（1）∵tan∠OAB=，∴∠OAB-60°，延長OE交⊙O于點F，連接CF，∴∠F=∠OAB=60°，OF=4，∴OC=．

（2）①∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，∴∠BAC=60°，延長EO交⊙O于點G，連接GF，
∴∠G=∠BAC=60°，∵⊙O半徑為x， EF為y，∴；

②作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵∠ABC=45°，∴BH=AH，∵AB=，AH=2，∵AD=EG=，∴2≤AD≤，即，∵，y隨x的增大而增大，∴當x=1時，y最小，為．